CAPITULO I

TEORÍA Y PRÁCTICA DE OPCIONES Y FUTUROS

Por

Francisco Javier Urbelz IBARROLA

Catedrático Dr. en Ciencias Económicas

LEYES DE CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO.

I.LEYES DE CAPITALIZACIÓN

1.Concepto.

1. Disponibilidades diferentes.

Una determinada riqueza o capital, se dice es disponible, en el momento en que puede ser utilizada por su poseedor; y, si para esta disponibilidad es preciso el transcurso de cierto tiempo, su valor presente será menor y depende de la relación de ese tiempo que debe transcurrir.
Según esto, dos capitales disponibles en momentos diferentes no pueden ser comparados entre sí sin oportunas rectificaciones, porque aquél disponible más tarde vale relativamente menos que el otro.
Las razones de esta diferencia de valor son diversas. Si la riqueza en cuestión es útil de un modo indirecto, esto es, si se trata de un capital, se pierden los frutos que habían de obtenerse en el entretiempo; si la riqueza es útil directamente, o sea si es un bien de consumo, hay que sacrificarse y demora la satisfacción de la necesidad que dicha riqueza podría llenar inmediatamente. Además interviene el riesgo de pérdida de toda o parte de la riqueza, antes que llegue su disponibilidad, elemento impropio de las fórmulas elementales.

De ahí que si se cede una riqueza presente en cambio de una futura, de la que se recibe promesa, se pretenderá que ésta sea ahora de tal magnitud que hoy valga tanto como la cedida, y se pretenderá que sea tanto mayor cuanto más largo sea el tiempo que haya de aguardarse, ya que también es mayor la pérdida de valor. Esta depreciación no podrá ser igual al valor total de la riqueza, sino cuando la disponibilidad no se verifique en un momento infinitamente alejado.

2. Relaciones de valores con diferente disponibilidad.

Observando lo anteriormente dicho podemos apreciar que existe una relación entre el valor presente y futuro de una riqueza, y entre estos mismos y el tiempo que deba transcurrir, si bien todavía no podemos decir cuál sea esa relación que procuramos determinar.
Para ello es indispensable establecer la medida de depreciación en un tiempo determinado, toda vez que las riquezas no son siempre igualmente buscadas y apreciadas. De hecho para un plazo de espera fijo, la pérdida de valor de las riquezas futuras será más o menos grande según que los frutos obtenidos de otra manera sean también el más o menos grandes; y si las piezas no dan directamente frutos, esa pérdida será grande si las de disponibilidad actual son escasas, las necesidades muy sentidas y su satisfacción perentoria; y será pequeña la perdida si las riquezas son abundantes y poco sentida su necesidad.

3. El precio del interés.

Sea Ck una riqueza cualquier cualquiera no disponible en el momento k. Para su valoración se mide por un coeficiente que ha de ser determinado con referencia a cierto periodo de tiempo, y sin que nunca pueda ser enunciado independiente del mismo. Este coeficiente constituye el precio del interés que tiene la facultad de convertir en disponible una riqueza que no lo es actualmente.

Su determinación se hace como sigue: sea Ck el importe de una riqueza en un momento cualquiera k del tiempo y el importe de otra equivalente a la primera Ck+1 disponible en un momento posterior k+ 1. Ha de verificarse:

(3.1.1)

Pero si consideramos que los valores sean los que correspondan actualmente a una misma riqueza, según que se suponga disponible después del tiempo k o del k+1 ha de ser mayor el valor de la disponible más pronto, o sea

(3.1a.1)

Comparando ahora las dos expresiones halladas para , el primer caso corresponde al valor que va adquiriendo un capital en un tiempo posterior en una unidad; al paso que el segundo es el valor de ese mismo capital en un tiempo anterior.

Estos son los dos regímenes de capitalización; las dos leyes existentes de capitalización y de descuento.

Posteriormente examinaremos y desarrollaremos fórmulas referentes a cada uno de estos regímenes de capitalización o de descuento.

2. Notaciones.

Capital en el tiempo t: Ct

Capital invertido en tiempo t=0: Co.

Tiempo: t k, etc.

k generalmente una fracción de año. Si el año se divide en doce meses K=12

Y así k= 52, 4, 365 o 366, 6, según sea la división del año en semanas, trimestres, días, por lo semestres o semestres. Los días pueden ser normales o bisiestos.
Existe también una división de los días: comerciales 360 que, antiguamente se utilizaba para abreviar las operaciones. Actualmente por la mecanización, no es necesaria.

Tanto por uno de interés en un año por unidad: i

Tanto por uno por fracción de tiempo: mensual m=12, semanal m=52, trimestral m=4, semestral m=6... im

Tanto nominal de interés en la fracción del tiempo equivalente a im=jm/m

tanto por % en un periodo de tiempo. r

Interés de un año: I.

Interés del año k: Ik

3. Deducciones de las distintas leyes de capitalización.

3.1. Deducción de la fórmula de interés simple.

La deducción de la fórmula de interés simple es sencilla y puede obtenerse directamente por una simple regla detrás de tres. Sin embargo nosotros la deduciremos por sus propiedades.

Progresión aritmética de razón I.

Ck-Ck-1=I para todo k entero:

C1-Co=I

C2-C1=I

C3-C2=I

...

Ct-Ct-1=I

Sumando y eliminando, siento t igualdades tenemos:

Ct-Co=tI

Poniendo I en relación con la inversión,

Ct-Co=t Coi=Cit

Y también expresado i en tanto por ciento:

(3.1b.1)

- o el tiempo expresado en meses –k=12, semanas, k=52, trimestres, k=4, semestres, k= 6.

-

Si el tiempo se expresa en días k= 360 días comerciales o k=365 o 366 días del año civil.

- (3.2b.1)

- El montante, o valor final, es:

(3.3c.1)

3.2. Deducción de la fórmula de interés compuesto.

Los intereses se acumulan al capital en cada año o “período”.

Así

El sumando son los intereses producidos en el período k-1 a k. Sacando factor común tenemos la siguiente expresión geométrica:

Dando valores a k = 1, 2, 3, t los valores de los capitales acumulados son:

Y sustituyendo:

...

Multiplicando y simplificamos, tenemos:

(3.2.1)

Fórmula del capital final al tipo de interés compuesto unitario por año i en tanto por uno.

3.2.1 Intereses.

Los intereses son:

(3.3a.1)

Así como los intereses del interés simple están en progresión aritmética, los intereses de la capitalización compuesta dijimos forman una progresión geométrica.

En efecto:

Dando valores a k= 1, 2, 3...t-1,t tenemos:

Progresión geométrica cuya suma es: el último término por la razón dividido por el primero. Así que

Sustituyendo I por su valor Co i y simplificando tenemos:

Como vimos anteriormente.

Luego: Los regímenes de capitalización simple y compuesta son muy diferentes. El primero sigue una progresión aritmética y el segundo los intereses siguen una progresión geométrica.

3.3 Deducción de la fórmula de interés fraccionado acumulado.

En este caso el tipo de interés en una fracción m de tiempo tm donde m es una fracción del tiempo: semanas, meses, trimestres, semestres, etc., en cada uno de los períodos se acumula al capital para devengar intereses en el período siguiente.

La deducción de la fórmula es exactamente igual que la del interés compuesto teniendo ahora en cuenta que como hemos dividido el tiempo en m períodos, el número de períodos es mt.

La fórmula es:

(3.3.1)

Donde jm es un tipo de interés proporcional al tiempo “no real” y medido en años pero im es real en la fracción de tiempo mencionada. Ese tipo se denomina tanto nominal unitario de interés nominal capitalizable por fracciones de tiempo m, o sencillamente tanto nominal de interés.

3.4.Tantos equivalentes.

Se denominan así a los que producen intereses iguales en fracciones distintas de tiempo. Estas capitalizaciones si son m fracciones y k, serán equivalentes siempre y cuando al final de año los valores acumulados sean iguales; esto es

(3.4.1)

De esta fórmula puede deducirse un tanto nominal equivalente a otro o incluso a un tipo de interés anual.

Así

(3.4b.1)

Se puede relacionar un tipo anual con muchos equivalentes y formar tablas.

4 Capitalización continua.

Donde

es el interés unitario instantáneo. Dividiendo por Cx tenemos:

De la anterior tenemos las dos expresiones siguientes:

4.1. Fórmula de la capitalización continua.

El diferencial logaritmo es:

Integrando entre o y t

(4.1a.1)

La diferencia de logaritmos es la diferencia de un cociente:

Pasando a números, tenemos la fórmula del valor final a interés compuesto:

(4.2a.1)

Y los intereses

(4.3a.1)

4.2. Fórmula del interés continuo unitario.

Pasando Co al primer miembro y restando la unidad, tenemos:

(4.2a.1)

Que es el interés de una unidad monetaria durante el tiempo t al tipo de interés nominal de capitalización continua d

Desarrollando en serie tenemos:

(4.2b.1)

En general delta es pequeño y depende del valor de t, para tomar una aproximación, para aplicarla en su momento, pudiera elegirse el primer término si fuese una fracción de año por ejemplo un día o inferior incluso, los intereses aproximados se reducen al primer sumando porque cualquier otro es un infinitésimo de orden superior.

5. Capitalización fraccionada continua.

Si el año lo dividimos en fracciones m mensuales, semanales, trimestrales, semestrales...el tipo de interés de interés unitario denominamos im la fórmula será:

(5.1a.1)

Si hacemos tender m hacia infinito, el tanto nominal de interés tenderá hacia un límite d por lo que llegamos a la fórmula ya conocida:

Donde

(5.2a.1)

II.LEYES DE DESCUENTO.

1. Concepto.

Es la diferencia por diferente disponibilidad de una riqueza futura y su valoración actual

2.Notaciones.

t el tiempo

Co capital a determinar en tiempo hoy, t=0.

Ct capital en el tiempo t.

- d tanto por uno de descuento en un año por unidad.

- dm tanto por uno de descuento por fracción de tiempo: mensual m=12, semanal m=52, trimestral m=4, semestral m=6...

- jm tanto nominal de descuento en la fracción del tiempo equivalente a

- im=jm/m

- r tanto por % en un periodo de tiempo.

- I descuento en un año.

3. Deducciones de las distintas leyes de descuento.

3.1. Deducción de la fórmula de descuento simple.

Progresión aritmética de razón -I.

Ck-1-Ck=-I para todo k entero:

Co-C1 =-I

C1-C2=-I

C2-C3=-I

...

Ct-1-Ct=-I

Sumando y eliminando siento t igualdades tenemos:

Co-Ct=-tI

De donde

Co =Ct -tI

Poniendo -I en relación con el capital a descontar, I=Ctd tenemos la fórmula del descuento simple:

Co=Ct(1-id)

Expresada en tanto por uno. Si i lo expresamos en tanto por ciento, tenemos que la fórmula del descuento simple es:

(3.1a.2)

Si t lo expresamos en una división del tiempo al igual que hicimos para el interés compuesto, tenemos:

- o el tiempo expresado en meses –k=12, semanas, k=52, trimestres, k=4, semestres, k= 6.

- Si el tiempo se expresa en días k= 360 días comerciales o k=365 o 366 días del año civil.

El descuento total es:

(3.2a.2)

Y el valor actual, es:

(3.3b.2)

Esta fórmula se denomina abusiva por cuanto el numerador puede valer cero si rt=100k.

3.2. Deducción de la fórmula del descuento compuesto.

Los descuentos se deducen del capital futuro en cada año o “período” hasta el inicial.

Así el descuento en el año k es el sustraendo que se deduce para determinar el del anterior.

Sacando factor común tenemos la siguiente expresión geométrica:

Dando valores a k = 1, 2, 3, t tenemos las siguientes igualdades:

...

Multiplicando y simplificamos, tenemos:

(3.2.2)

Fórmula del capital actual al tipo de descuento compuesto unitario por año i en tanto por uno de un capital Ct en el tiempo futuro t.

3.3. Total descuento.

Es la diferencia entre el capital futuro y el valor actual:

(3.3.2)

Así como los términos del descuento simple están en progresión aritmética, los descuentos del descuento compuesto dijimos forman una progresión geométrica.

4. Descuento continuo. El valor actual de un capital futuro en el tiempo t en el instante inicial a descuento continuo la fórmula, es

(4.1.2)

Pasando el sustraendo al segundo miembro, tenemos:

El factor que multiplica a Cx es infinitesimal y podemos formar infinitos productos:

(4.2.2)

fórmula del descuento compuesto.

5. Valor actual de un capital futuro a descuento continuo. Es la siguiente:

(5.1.2)

5.2. Fórmula del descuento continuo unitario.

Tomando Ct=1, deducido el valor actual es:

(5.2.2)

Porque

Que es el descuento de una unidad monetaria durante el tiempo t.

6. Desarrollo en serie tenemos:

Es un desarrollo cuyos términos impares son negativos y los pares positivos.

En general delta es pequeño y depende del valor de t para tomar una aproximación pero teniendo la exacta es para aplicarla en su momento. Si fuese una fracción de año por ejemplo un día o fracción, los intereses se quedan en el primer sumando; es decir en -dt.

6. Descuento fraccionado continuo.

Si el año lo dividimos en fracciones m mensuales, semanales, trimestrales, semestrales... el tipo de descuento unitario se denomina im y la fórmula será:

(6.1.2)

Si hacemos tender m hacia infinito, el tanto nominal de descuento tenderá hacia un límite d por lo que llegamos a la fórmula ya conocida:

III.UNIFICACIÓN DE FÓRMULAS DE INTERÉS COMPUESTO Y CONTINUO

1. La capitalización al tipo de interés continuo r(0,t) en el instante u, u+du para un capital Cu es:

Pasando al primer miembro Cu, tenemos:

Luego

Para calcular esta expresión definiremos r(0,t) para relacionarlo con las capitalizaciones simple y compuesta.

2. Interés continuo r(0,t) y la capitalización simple.

Este nuevo tipo de interés continuo que denominaremos r(o, u) y que haremos igual a

Si consideramos que, en un instante du una unidad monetaria produce

r(0.u)du, integrando entre 0 y t tendremos la relación con la capitalización simple:

El antilogaritmo es la fórmula del interés simple.

3. Si nos interesa relacionar el interés continuo con la capitalización compuesta el tanto general instantáneo, será:

Estas fórmulas nos permiten relacionar también con la capitalización compuesta fraccionada.

IV.UNIFICACIÓN DE FÓRMULAS DE DESCUENTO COMPUESTO Y CONTINUO

1. Descuento a tanto r(0,u) continuo. La fórmula del descuento continuo –r(0,u) de forma semejante, integrando entre o y t tenemos el valor actual:

2. Relación con descuento abusivo o descuento simple.

Si definimos r(0,u) como

E integrando tenemos:

Y pasando a números tenemos, para el descuento de una unidad monetaria a vencimiento t, su valor actual, es:

Y el valor actual Ct

observemos que si it=1 el valor actual es nulo porque el descuento absorbe el capital.

3. Relación con el descuento a tipo i anual. Si definimos r(0, u) como:

Lo relacionamos con el descuento compuesto anual, fraccionado o continuo. Así en el momento de un capital futuro C el descuento instantáneo en el tiempo u es:

Y en este caso

V.COMPARACIONES DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE Y COMPUESTA.

1. Capitalización simple y compuesta.

De las fórmulas precedentes, tenemos las diferencias:

Esta diferencia puede ser positiva o negativa según el valor de t. y tomaremos un ejemplo para i=5%.